Governing Equations#
강좌: 기초 전산유체역학
유동 지배방정식#
역학은 3개의 보전 방정식을 다룬다.
질량 보전 (\(dm=0\))
운동량 보전 (\(F=ma\))
에너지 보전 (\(\delta q = de + \delta w\))
유체역학 (공기역학)에서는 운동을 Eulerian 관점에서 기술하고, Control Volume 개념을 도입하여 위 보존 방정식을 기술한다.
Reynolds Transport Theorem#
유동장 내 임의의 고정된 형상을 Control Volume으로 고려할 때
\(B\): fluid property (momentum, energy…)
\(\beta\): intensive value
\(B_{CV}=\iiint_{CV}\beta\rho dV, \beta=\frac{dB}{dm}\)
Control Volume 내 변화량 : \(\frac{d}{dt}B_{CV}=\frac{d}{dt}\iiint_{CV}\beta\rho dV\)
Control Volune 에 in/out 량 : \(\iint_{S}\beta\rho\mathbf{V}\cdot\mathbf{dS}=\iint_{S}\beta d\dot{m}\)
Fig. 1 Reynolds Transport Theorem (Wikimedia)#
System (특정 유동 입자들)에서 변화량
\(\frac{d}{dt}B_{sys}=\frac{d}{dt}\iiint_{CV}\beta\rho dV+\iint_{S}\beta\rho\mathbf{V}\cdot\mathbf{dS}=\iint_{S}\beta d\dot{m}\)
질량 보전 : \(B=m, \beta=1\)
운동량 보전 : \(B=mV, \beta=V\)
에너지 보전 : \(B=me_{t}, \beta=e_{t}=e+\frac{1}{2}V^{2}\)
비점성 유동 지배방정식#
질량 보전 법칙 (\(dm=0\))
운동량 보전 법칙 (\(F=ma\))
에너지 보전 법칙 (\(\delta q+\delta w=de\))
2차원 Euler Equation
여기서
미지수는 \(\rho, \mathbf{V}, p, e\) 이므로 방정식 개수보다 많다. 상태 방정식을 이용해야 한다.
이상기체 상태 방정식#
\(p=\rho R T\), \(R=\Re/M_{air}=287J/(Kg\cdot K)\)
Fig. 2 Equation of State for ideal Gas (Wikimedia)#
\(e = c_v T\), \(c_v = \frac{1}{\gamma-1} R\)
위 두식으로 부터 다음 관계를 좀 더 많이 활용한다.
\(e = \frac{p}{\rho (\gamma-1)}\)
비압축성 유동 지배방정식#
비압축성 유동에서는 밀도가 거의 변하지 않아 일정하다.
운동량 보전 방정식, 비회전류 가정시
Velocity Potential 을 이용하면 질량 보전식은 다음과 같이 Laplace Equation으로 정리된다.
Types of Partial Differential Equation#
물리적 구분#
Equilibrium Problem#
경계 조건에 의해 해가 결정되는 문제
Steady-state temperature distribution, incompressible inviscid flow, equilibrium stress in solid

Fig. 3 Steady flow around airfoil (Wikimedia)#
Marching Problem#
초기 조건과 경계 조건에 의해 결정되는 문제
파동의 전파
Fig. 4 Karman vortex shedding (Wikimedia)#
수학적 구분#
Characteristics
물성치가 일정하거나, 그 미분 값이 불연속 적인 선 또는 면
정보가 전파되는 방향

Fig. 5 Shock Wave Pattern (Wikimedia)#
2계 미분 방정식
\[ a \phi_{xx} + b \phi_{xy} + c \phi_{yy} = H(\phi, \phi_x, \phi_y) \]Curve C를 따라서 2차 미분이 연속적이지 않을 때, Parameter \(\tau\)로 표시하면, \((x(\tau), y(\tau))\)
\[\begin{split} \phi_x = p(\tau), \phi_y = q(\tau) \\ \phi_{xx} = u(\tau), \phi_{xy} = v(\tau), \phi_{yy} = w(\tau) \end{split}\]미분 방정식은 다음과 같다.
\[\begin{split} a u(\tau) + b v(\tau) + c w(\tau) = H(\tau) \\ \frac{dp}{d\tau} = u \frac{dx}{d\tau} + v \frac{dy}{d\tau} \\ \frac{dq}{d\tau} = v \frac{dx}{d\tau} + w \frac{dy}{d\tau} \\ \end{split}\]다음 행렬의 고유치에 따라 특성곡선이 존재할 수 있다.
\[\begin{split} \left [ \begin{array}{ccc} a & b & c \\ \frac{dx}{d\tau} & \frac{dy}{d\tau} & 0 \\ 0 & \frac{dx}{d\tau} & \frac{dy}{d\tau} \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} H \\ -\frac{dp}{d\tau} \\ \frac{dq}{d\tau} \end{array} \right ] \end{split}\]특성곡선 \(dy/dx\)
\[ a \frac{d^2y}{dx^2} - b \frac{dy}{dx} + c =0 \]\(b^2 - 4ac > 0\): 특성 곡선 2개
\(b^2 - 4ac = 0\): 특성 곡선 1개
\(b^2 - 4ac < 0\): 특성 곡선 없음
Hyperbolic PDE#
서로 다른 Charateristics 가 존재함
정보의 전파가 제한됨
파동 방정식 (\(u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0)\), 초음속 비점성 유동
\(F(x+ct)\), \(F(x-ct)\)

Fig. 6 Two characteristics of hyperbolic PDE (Wikimedia)#
Parabolic PDE#
중첩된 Characteristics 가 존재함
이전 영역에서 모든 정보가 다음 시간의 해에 영향을 줌
Diffusion equation, Heat condcution problem (\(u_t = \nu u_{yy}\))
경계층 유동 문제 (Blasius Solution): ODE 로 변환 가능
Elliptic PDE#
Charateristics 가 존재하지 않음 (허수임)
모든 방향으로 정보가 전파함
Laplace Equation (Steady, incompressible, inviscid flow)
Well-posed vs ill-posed probem#
초기 및 경계 조건이 적절히 주어져야 PDE를 해석할 수 있음
Linear vs Non-linear#
변수와 그의 미분이 선형으로 구성 (곱, 제곱 항이 없음)
Some Model Equations#
선형 파동 방정식#
Marching problem, 선형 Hyperbolic Equation
Burgers 방정식#
Marching problem, 비선형 Hyperbolic Equation
Laplace 방정식#
Equilibrium Problem, Elliptic PDE