Governing Equations

강좌: 기초 전산유체역학

유동 지배방정식

역학은 3개의 보전 방정식을 다룬다.

• 질량 보전 (\(dm=0\))

• 운동량 보전 (\(F=ma\))

• 에너지 보전 (\(\delta q = de + \delta w\))

유체역학 (공기역학)에서는 운동을 Eulerian 관점에서 기술하고, Control Volume 개념을 도입하여 위 보존 방정식을 기술한다.

Reynolds Transport Theorem

• 유동장 내 임의의 고정된 형상을 Control Volume으로 고려할 때

  • \(B\): fluid property (momentum, energy…)

    • \(\beta\): intensive value

    • \(B_{CV}=\iiint_{CV}\beta\rho dV, \beta=\frac{dB}{dm}\)

  • Control Volume 내 변화량 : \(\frac{d}{dt}B_{CV}=\frac{d}{dt}\iiint_{CV}\beta\rho dV\)

  • Control Volune 에 in/out 량 : \(\iint_{S}\beta\rho\mathbf{V}\cdot\mathbf{dS}=\iint_{S}\beta d\dot{m}\)

Fig. 1 Reynolds Transport Theorem (Wikimedia)

• System (특정 유동 입자들)에서 변화량

  • \(\frac{d}{dt}B_{sys}=\frac{d}{dt}\iiint_{CV}\beta\rho dV+\iint_{S}\beta\rho\mathbf{V}\cdot\mathbf{dS}=\iint_{S}\beta d\dot{m}\)

  • 질량 보전 : \(B=m, \beta=1\)

  • 운동량 보전 : \(B=mV, \beta=V\)

  • 에너지 보전 : \(B=me_{t}, \beta=e_{t}=e+\frac{1}{2}V^{2}\)

비점성 유동 지배방정식

• 질량 보전 법칙 (\(dm=0\))

\[\begin{split} \\\frac{\partial}{\partial t}\iiint_{V}\rho dV+\iint_{S}\rho\mathbf{V}\cdot\mathbf{dS}=0. \end{split}\]

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{V})=0. \]

• 운동량 보전 법칙 (\(F=ma\))

\[ \frac{\partial}{\partial t}\iiint_{V}\rho\mathbf{V}dV+\iint_{S}(\rho\mathbf{V}\cdot\mathbf{dS})\mathbf{V}=-\iint_{S}p\mathbf{dS} \]

\[\begin{split} \frac{\partial(\rho u)}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho u\mathbf{V})=-\frac{\partial p}{\partial x} \\ \frac{\partial(\rho v)}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho v\mathbf{V})=-\frac{\partial p}{\partial y} \end{split}\]

• 에너지 보전 법칙 (\(\delta q+\delta w=de\))

\[ \frac{\partial}{\partial t}\iiint_{V}\rho e_{t}dV+\iint_{S}\rho e_{t}\mathbf{V}\cdot\mathbf{dS}=-\iint_{S}(p\mathbf{V}\cdot\mathbf{dS})+\iiint\dot{q}\rho dV \]

\[ \frac{\partial}{\partial t}\left[\rho\left(e+\frac{V^{2}}{2}\right)\right]+\nabla\cdot\left[\rho\left(e+\frac{V^{2}}{2}\right)\mathbf{V}\right]=-\nabla\cdot(p\mathbf{V}) \]

• 2차원 Euler Equation

\[ \frac{\partial U}{\partial t} + \frac{\partial F(U)}{\partial x} + \frac{\partial G(U)}{\partial y} = 0. \]

\[\begin{split} U = \left [ \begin{matrix} \rho \\ \rho u \\ \rho v \\ \rho e_t \end{matrix} \right ], F = \left [ \begin{matrix} \rho u \\ \rho u^2 + p \\ \rho u v \\ \rho u h_t \end{matrix} \right ], G = \left [ \begin{matrix} \rho v \\ \rho uv \\ \rho v^2 + p \\ \rho u h_t \end{matrix} \right ] \end{split}\]

여기서

\[ e_t = e + \frac{\mathbf{V}^2}{2}, h_t = e_t + \frac{p}{\rho}. \]

미지수는 \(\rho, \mathbf{V}, p, e\) 이므로 방정식 개수보다 많다. 상태 방정식을 이용해야 한다.

이상기체 상태 방정식

• \(p=\rho R T\), \(R=\Re/M_{air}=287J/(Kg\cdot K)\)

Fig. 2 Equation of State for ideal Gas (Wikimedia)

• \(e = c_v T\), \(c_v = \frac{1}{\gamma-1} R\)

• 위 두식으로 부터 다음 관계를 좀 더 많이 활용한다.

  • \(e = \frac{p}{\rho (\gamma-1)}\)

비압축성 유동 지배방정식

• 비압축성 유동에서는 밀도가 거의 변하지 않아 일정하다.

\[\begin{split} \begin{align} \frac{\partial}{\partial t}+\nabla\cdot(\mathbf{V})=0. \\ \frac{\partial(u)}{\partial t}+\nabla\cdot(u\mathbf{V})=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} \\ \frac{\partial(v)}{\partial t}+\nabla\cdot(v\mathbf{V})=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} \end{align} \end{split}\]

• 운동량 보전 방정식, 비회전류 가정시

\[ p+\frac{1}{2}\rho V^{2}=const. \]

• Velocity Potential 을 이용하면 질량 보전식은 다음과 같이 Laplace Equation으로 정리된다.

\[ \phi_{xx} + \phi_{yy} = 0, \mathbf{V} = \nabla \phi. \]

Types of Partial Differential Equation

물리적 구분

Equilibrium Problem

• 경계 조건에 의해 해가 결정되는 문제

• Steady-state temperature distribution, incompressible inviscid flow, equilibrium stress in solid

Fig. 3 Steady flow around airfoil (Wikimedia)

Marching Problem

• 초기 조건과 경계 조건에 의해 결정되는 문제

• 파동의 전파

Fig. 4 Karman vortex shedding (Wikimedia)

수학적 구분

• Characteristics

  • 물성치가 일정하거나, 그 미분 값이 불연속 적인 선 또는 면

  • 정보가 전파되는 방향

Fig. 5 Shock Wave Pattern (Wikimedia)

• 2계 미분 방정식

  \[ a \phi_{xx} + b \phi_{xy} + c \phi_{yy} = H(\phi, \phi_x, \phi_y) \]

  • Curve C를 따라서 2차 미분이 연속적이지 않을 때, Parameter \(\tau\)로 표시하면, \((x(\tau), y(\tau))\)

    \[\begin{split} \phi_x = p(\tau), \phi_y = q(\tau) \\ \phi_{xx} = u(\tau), \phi_{xy} = v(\tau), \phi_{yy} = w(\tau) \end{split}\]

  • 미분 방정식은 다음과 같다.

    \[\begin{split} a u(\tau) + b v(\tau) + c w(\tau) = H(\tau) \\ \frac{dp}{d\tau} = u \frac{dx}{d\tau} + v \frac{dy}{d\tau} \\ \frac{dq}{d\tau} = v \frac{dx}{d\tau} + w \frac{dy}{d\tau} \\ \end{split}\]

  • 다음 행렬의 고유치에 따라 특성곡선이 존재할 수 있다.

    \[\begin{split} \left [ \begin{array}{ccc} a & b & c \\ \frac{dx}{d\tau} & \frac{dy}{d\tau} & 0 \\ 0 & \frac{dx}{d\tau} & \frac{dy}{d\tau} \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} H \\ -\frac{dp}{d\tau} \\ \frac{dq}{d\tau} \end{array} \right ] \end{split}\]

  • 특성곡선 \(dy/dx\)

    \[ a \frac{d^2y}{dx^2} - b \frac{dy}{dx} + c =0 \]

    • \(b^2 - 4ac > 0\): 특성 곡선 2개

    • \(b^2 - 4ac = 0\): 특성 곡선 1개

    • \(b^2 - 4ac < 0\): 특성 곡선 없음

Hyperbolic PDE

• 서로 다른 Charateristics 가 존재함

• 정보의 전파가 제한됨

• 파동 방정식 (\(u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0)\), 초음속 비점성 유동

  • \(F(x+ct)\), \(F(x-ct)\)

Fig. 6 Two characteristics of hyperbolic PDE (Wikimedia)

Parabolic PDE

• 중첩된 Characteristics 가 존재함

• 이전 영역에서 모든 정보가 다음 시간의 해에 영향을 줌

• Diffusion equation, Heat condcution problem (\(u_t = \nu u_{yy}\))

  • 경계층 유동 문제 (Blasius Solution): ODE 로 변환 가능

Elliptic PDE

• Charateristics 가 존재하지 않음 (허수임)

• 모든 방향으로 정보가 전파함

• Laplace Equation (Steady, incompressible, inviscid flow)

Well-posed vs ill-posed probem

• 초기 및 경계 조건이 적절히 주어져야 PDE를 해석할 수 있음

Linear vs Non-linear

• 변수와 그의 미분이 선형으로 구성 (곱, 제곱 항이 없음)

Some Model Equations

선형 파동 방정식

• Marching problem, 선형 Hyperbolic Equation

\[ u_t + a u_x = 0. \]

Burgers 방정식

• Marching problem, 비선형 Hyperbolic Equation

\[ u_t + f_x = 0, f = \frac{1}{2} u^2. \]

Laplace 방정식

• Equilibrium Problem, Elliptic PDE

\[ u_{xx} + u_{yy} = 0. \]